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Die Kreisfläche lässt sich annähernd bestimmen, indem man ihr viele kleine Quadrate unterlegt z. Dazu verwendet man die Gleichungen. Wird dieser Vorgang wiederholt, entstehen nacheinander ein Eck, ein Eck und so fort.

In jedem Sechseck sind die Seiten gleich lang wie der Umkreisradius. Die Seiten der folgenden Vielecke ergeben sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras jeweils aus den Seiten der vorhergehenden.

Aus den Seiten lassen sich die Flächen der Vielecke durch Dreiecksflächen berechnung exakt bestimmen. Sie sind alle etwas kleiner als die Kreisfläche, der sie sich bei steigender Eckenzahl jedoch annähern.

Der Kreis ist eine geometrische Figur von sehr hoher Symmetrie. Jede Gerade durch seinen Mittelpunkt ist eine Symmetrieachse. Zudem ist der Kreis rotationssymmetrisch , d.

In der Gruppentheorie werden die genannten Symmetrieeigenschaften des Kreises durch seine Symmetriegruppe charakterisiert. Alle Kreise mit dem gleichen Radius sind zueinander kongruent , lassen sich also durch Parallelverschiebungen aufeinander abbilden.

Zwei beliebige Kreise sind zueinander ähnlich. Sie lassen sich stets durch eine zentrische Streckung und eine Parallelverschiebung aufeinander abbilden.

Der Kreis um das rechtwinklige Dreieck wird in dieser Situation auch Thaleskreis genannt. Diese Aussage wird auch Umfangswinkelsatz genannt.

Ist Letzteres der Fall, so gilt analog zum Sehnensatz der Sekantensatz. Ebenso kann jedem Dreieck ein eindeutig bestimmter Kreis einbeschrieben werden, der die drei Seiten berührt, d.

Dieser Kreis wird Inkreis des Dreiecks genannt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.

Sein Mittelpunkt liegt wie der Schwerpunkt , der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden.

Ein Viereck , das einen Umkreis besitzt, wird Sehnenviereck genannt. Ein Viereck, das einen Inkreis besitzt, wird Tangentenviereck genannt.

Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summe der Seitenlängen zweier gegenüberliegender Seiten gleich der Summe der beiden anderen Seitenlängen ist.

Kreisspiegelungen sind winkeltreu , orientierungsumkehrend und kreistreu. Die Hintereinanderausführung zweier Kreisspiegelungen ergibt eine Möbiustransformation.

Möbiustransformationen der komplexen Ebene werden durch gebrochen lineare Funktionen der Gestalt. Ein klassisches Problem der Geometrie ist die Konstruktion geometrischer Objekte mit Zirkel und Lineal in endlich vielen Konstruktionsschritten aus einer gegebenen Punktemenge.

In jedem Schritt dürfen dabei Geraden durch gegebene oder bereits konstruierte Punkte gezogen werden sowie Kreise um solche Punkte mit gegebenem oder bereits konstruiertem Radius gezogen werden.

Die dadurch konstruierten Punkte ergeben sich als Schnittpunkte zweier Geraden, zweier Kreise oder einer Geraden mit einem Kreis.

Im Folgenden sollen exemplarisch einige Konstruktionen angesprochen werden, die im Zusammenhang mit der Geometrie von Kreisen von Bedeutung sind.

Das ist z. Die Fläche eines Kreises lässt sich geometrisch verdoppeln, indem ein Quadrat gezeichnet wird, dessen eine Ecke im Kreismittelpunkt liegt, wobei zwei weitere Ecken auf dem Kreisbogen liegen.

Durch die vierte Ecke wird ein Kreis um den alten Mittelpunkt gezogen. Dieses Verfahren wurde im Jahrhundert im Bauhüttenbuch des Villard de Honnecourt dargestellt.

Dieses Verfahren funktioniert, da nach dem Satz des Pythagoras. Ein weiteres bereits in der Antike untersuchtes Konstruktionsproblem ist die Kreisteilung.

So lassen sich etwa Sinus und Kosinus über ihre Darstellung als Potenzreihe definieren. In der Differentialgeometrie , einem Teilgebiet der Analysis, das geometrische Formen mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung untersucht, werden Kreise als spezielle Kurven angesehen.

Diese Kurven lassen sich mit Hilfe der oben genannten Parameterdarstellung als Weg beschreiben. Dadurch erhält man als Parametrisierung des Kreises nach der Bogenlänge.

Damit ergibt sich. Eine andere Möglichkeit zur Berechnung der Kreisfläche besteht darin, die Sektorformel von Leibniz auf die Parameterdarstellung des Kreisrandes anzuwenden.

In der Differentialgeometrie wird gezeigt, dass eine ebene Kurve bis auf Kongruenz durch ihre Krümmung eindeutig bestimmt ist. Die einzigen ebenen Kurven mit konstanter positiver Krümmung sind daher Kreisbögen.

Im Grenzfall, dass die Krümmung konstant gleich 0 ist, ergeben sich Geradenstücke. Umgekehrt hat die Kreisfläche bei gegebenem Flächeninhalt den kleinsten Umfang.

In der Ebene ist der Kreis daher die eindeutig bestimmte Lösung des sog. Obwohl diese anschaulich einleuchtende Tatsache schon den Mathematikern im antiken Griechenland bekannt war, wurden formale Beweise erst im Jahrhundert erbracht.

Da eine Kurve gesucht ist, die ein Funktional maximiert, nämlich den umschlossenen Flächeninhalt, handelt es sich dabei aus moderner Sicht um ein Problem der Variationsrechnung.

Ein gängiger Beweis für stückweise stetige Kurven verwendet die Theorie der Fourierreihen. Es ist möglich, den Kreis als Objekt der Ebene in den dreidimensionalen Raum zu verallgemeinern.

Dann erhält man die Hülle einer Kugel. Dieses Objekt wird in der Mathematik Sphäre oder genauer 2-Sphäre genannt. In diesem Kontext nennt man den Kreis auch 1-Sphäre.

In der ebenen Geometrie kann der Kreis als spezielle Ellipse aufgefasst werden, bei der die beiden Brennpunkte mit dem Kreismittelpunkt zusammenfallen.

Beide Halbachsen sind dabei gleich dem Kreisradius. Der Kreis ist daher ein spezieller Kegelschnitt: Er entsteht als Schnitt eines geraden Kreis kegels mit einer Ebene senkrecht zu Kegelachse.

Er ist damit ein Spezialfall einer zweidimensionalen Quadrik. In der synthetischen Geometrie können Kreise in bestimmten affinen Ebenen zum Beispiel präeuklidischen Ebenen ohne einen Abstandsbegriff allein durch eine Orthogonalitätsrelation definiert werden, indem der Satz vom Umkreis Mittellotensatz zur Definition des Kreises verwendet wird.

Für das Zeichnen von angenäherten Kreisen in einem Punktraster wurden mehrere Algorithmen entwickelt, siehe dazu Rasterung von Kreisen.

Diese Verfahren sind insbesondere für die Computergrafik von Belang. Für die zweifarbige Rasterung von Kreisen reichen die Grundrechenarten aus.

Dieser Artikel beschreibt die geometrische Figur. Weitere Bedeutungen sind unter Kreis Begriffsklärung aufgeführt. Siehe auch : Potenz Geometrie.

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Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie. Schon die alten Ägypter und Babylonier versuchten, den Flächeninhalt des Kreises näherungsweise zu bestimmen.

Beispielsweise versuchte Archimedes erfolglos, mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal den Kreis in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können.

Erst konnte Ferdinand von Lindemann durch Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist. Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine Kurve , also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche.

Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der abgeschlossenen Kreisfläche oder -scheibe und der offenen oder dem Kreisinneren , je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.

Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises also der Kreislinie ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne.

Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die Durchmesser.

Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang. Ein Kreissektor Kreisausschnitt ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird.

Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet. Kreissegmente Kreisabschnitte werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

Ein Kreisring entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.

Manchmal wird auch jede Strecke, die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als Radius bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als Durchmesser.

Der Kreis gehört neben dem Punkt und der geraden Linie zu den ältesten Elementen der vorgriechischen Geometrie. Sie rechneten also. Die Babylonier bis vor Christus benutzten eine ganz andere Methode, um den Flächeninhalt der Kreisscheibe zu berechnen.

Der Flächeninhalt wurde dann auf ein Zwölftel des Quadrates des Umfanges geschätzt, also [5]. Die Babylonier beschäftigten sich aber auch schon mit Kreissegmenten.

Sie konnten die Länge der Sehne oder die Höhe des Kreissegments die senkrecht auf der Sehnenmitte stehende Strecke zwischen Sehne und Umfang berechnen.

Damit begründeten sie die Sehnengeometrie , die später von Hipparch weiterentwickelt wurde und die Claudius Ptolemaios an den Anfang seines astronomischen Lehrbuches Almagest stellte.

Die Griechen werden meist als die Begründer der Wissenschaft von der Natur angesehen. Andere Aussagen zur Geometrie wurden von Thales selbst aufgestellt.

Insbesondere war Thales der erste, bei dem der Begriff des Winkels auftrat. Über ihn selbst ist wenig bekannt, aber sein Werk im Bereich der Geometrie war beachtlich.

Sein Name ist heute noch in Zusammenhängen wie euklidischer Raum , euklidische Geometrie oder euklidische Metrik in Gebrauch. Sein wichtigstes Werk waren Die Elemente , eine dreizehnbändige Abhandlung, in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasste und systematisierte.

Er folgerte die mathematischen Aussagen aus Postulaten und begründete damit die euklidische Geometrie. Der dritte Band der Elemente beschäftigte sich mit der Lehre über den Kreis.

Mit dieser Erkenntnis führte er das Problem der Quadratur des Kreises auf die Frage der Konstruierbarkeit des Umfangs aus dem vorgegebenen Radius zurück.

Euklid war bereits bekannt, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält.

In einer weiteren Arbeit Über Spiralen [10] beschreibt Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten archimedischen Spirale.

Mit dieser Konstruktion war es Archimedes möglich, den Umfang eines Kreises auf einer Geraden abzutragen. Auf diese Weise konnte nun der Flächeninhalt eines Kreises exakt bestimmt werden.

Jedoch kann diese Spirale nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Apollonios von Perge lebte zirka Jahre vor Christus. In seiner Kegelschnittlehre Konika fasste er unter anderem die Ellipse und den Kreis als Schnitte eines geraden Kreiskegels auf — genauso wie es heute noch in der algebraischen Geometrie definiert wird.

Nach Apollonios ist weiterhin das apollonische Problem benannt, zu drei gegebenen Kreisen mit den euklidischen Werkzeugen Lineal und Zirkel die Kreise zu konstruieren, die die gegebenen berühren.

In Westeuropa erlangten seine Bücher erst im In der Wissenschaftsgeschichte nennt man den Zeitraum zwischen n. In dieser Zeit fanden Euklids Elemente wieder mehr Beachtung.

Sie gehörten zu den ersten gedruckten Büchern und wurden in den darauffolgenden Jahrhunderten in vielen verschiedenen Ausgaben verlegt. Erhard Ratdolt stellte in Venedig die erste gedruckte Ausgabe der Elemente her.

Beispielsweise ergänzte er eine Konstruktion der gemeinsamen Tangenten zweier Kreise. Da jedoch schon im In der analytischen Geometrie werden geometrische Objekte mit Hilfe von Gleichungen beschrieben.

Ausmultipliziert ergibt sich daraus:. Ein wichtiger Spezialfall ist die Koordinatengleichung des Einheitskreises.

Da der Kreis kein Funktionsgraph ist, lässt er sich auch nicht durch eine Funktionsgleichung darstellen. Behelfsweise kann ein Paar von Funktionsgleichungen.

Eine andere Möglichkeit, einen Kreis durch Koordinaten zu beschreiben, bietet die Parameterdarstellung siehe auch Polarkoordinaten :.

Mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion erhält man die Parameterdarstellung. Da alle Kreise ähnlich sind, ist das Verhältnis von Kreisumfang und Kreisdurchmesser für alle Kreise konstant.

Somit gilt. Man bezeichnet ihn auch als Kreisinhalt. Um die Formel für den Kreisinhalt zu erhalten, sind Grenzwert -Betrachtungen unerlässlich.

Recht anschaulich ergibt sich eine solche aus der nebenstehenden Zeichnung:. Die Kreisfläche ist zerlegungsgleich mit der Fläche der rechten Figur.

Die Flächenformel ist somit. Zur präzisen Definition der Krümmung werden Begriffe aus der Analysis benötigt, sie lässt sich jedoch aufgrund der Symmetrieeigenschaften des Kreises einfach berechnen.

Aus diesen Gründen wurden bis heute unterschiedliche Näherungsverfahren für den Flächeninhalt und somit auch den Umfang eines Kreises entwickelt.

Manche der Näherungsverfahren, wie beispielsweise das im Abschnitt Annäherung durch Vielecke erläuterte Verfahren, können durch mehrfache Wiederholung ein beliebig genaues Ergebnis liefern.

Die Kreisfläche lässt sich annähernd bestimmen, indem man ihr viele kleine Quadrate unterlegt z.

Dazu verwendet man die Gleichungen. Wird dieser Vorgang wiederholt, entstehen nacheinander ein Eck, ein Eck und so fort. In jedem Sechseck sind die Seiten gleich lang wie der Umkreisradius.

Die Seiten der folgenden Vielecke ergeben sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras jeweils aus den Seiten der vorhergehenden. Die Voraussetzungen für erfolgreiches Handeln am Markt sind der gemeinsame Einkauf für über 3.

Aufgrund unserer konsequenten Fokussierung auf die Belange des Küchenspezialisten stehen Ihnen permanent umfassende Services und wichtige Brancheninformationen zur Verfügung.

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